Фамилия Быгаева — женская форма от Быгаев, и её разумнее разбирать через мужской вариант. Сразу смотришь на суффикс: -ев, а не -ов. Это не случайность. В русских фамилиях -ев обычно присоединяли к основам на мягкий согласный или на -й. Здесь основа Быгай, и суффикс -ев — стандартный способ образования от прозвища или имени, оканчивающегося на -ай. Такая модель типична для южнорусских, украинских и белорусских земель, где фамилии на -ай, -ей встречаются чаще, чем в центральной России.

Корень «быг-» — тёмный и редкий. Самый прямой путь: прозвище Быгай. В диалектах русского языка «быгать» — это бегать, носиться, суетиться. Быгаем могли назвать непоседу, торопыгу, человека, который вечно куда-то спешит. Версия логичная и лингвистически прозрачная: основа глагола, суффикс -ай (как в прозвищах Лепетай, Кричай), затем фамильный суффикс. Никаких натяжек.

Вторая версия — от тюркского корня. В татарском, башкирском, казахском «буга» или «быга» — бык, самец крупного рогатого скота. Прозвище Быгай могло означать «бычок», «сильный, упрямый как бык». Это правдоподобно, если предки жили в зоне русско-тюркского контакта: Поволжье, Приуралье, юг Сибири. Но здесь загвоздка: в тюркских языках слово «быга» даёт фамилии Быгаев, а не Быгаев с мягким знаком — в русской записи разница стирается, но исходное прозвище Быгай (с твёрдым г) всё же ближе к тюркскому произношению. Поэтому версия с русским диалектным глаголом выглядит чуть естественнее для фамилии на -ай.

Третье, реже вспоминаемое: прозвище могло быть от «быглый» — беглый, ушедший. Но «быглый» — форма редкая, в основном фиксируется в северных говорах. Для фамилии Быгаев это маловероятно, потому что прозвище Беглый дало бы фамилию Беглов, а не Быгаев.

Географически фамилия Быгаев не широкая. В современных базах она встречается в Татарстане, Башкирии, Оренбургской области, изредка на Урале. Это косвенно поддерживает обе версии: и русскую диалектную, и тюркскую. Но если опираться на словообразовательную модель, то Быгаев — типичная русская фамилия, образованная от прозвища на -ай, которое могло родиться в говорах юга России или Украины. Тюркское влияние не исключено, но не обязательно.

Что касается сословия: фамилия не аристократическая, не дворянская. Скорее всего, её носили крестьяне, казаки или мещане. Никаких громких исторических личностей с такой фамилией не известно, что для редкого прозвищного корня нормально.