Фамилия Быгар — редкий случай, когда основа не бросается в глаза, а суффикс не даёт подсказки. В ней нет привычного -ов или -ин, а окончание -ар наводит на мысль о тюркском или румынском влиянии. Скорее всего, перед нами фамилия, застывшая в форме прозвища, которое не успело обрасти типичным русским патронимическим суффиксом.

Самая прямая версия отсылает к южнославянским и румынским диалектам. В румынском языке слово «bigar» означает «пёстрый», «рябой». Прозвище Быгар могли дать человеку с веснушками, со следами оспы или просто носившему пёструю одежду. В пользу этой версии говорит и географическая привязка: фамилия встречается на юго-западе России, в Белгородской области, и в Молдавии — зонах, где веками пересекались славянские и романские говоры.

Менее очевидный, но возможный вариант — связь с тюркским корнем «буй» (рост) или «буга» (бык). В таком случае прозвище Бугар/Быгар означало «рослый», «сильный как бык». Но здесь мешает фонетика: переход «у» в «ы» в безударной позиции нехарактерен для тюркских заимствований, а для русского уха «Бугар» звучало бы естественнее.

Третья гипотеза — профессиональная. В некоторых говорах «быгать» значило «гнуть», «сгибать». Тогда Быгар — человек, занятый сгибанием чего-либо: возможно, бондарь, гнувший обручи, или кузнец. Но это уже область догадок: корень «быг-» в русских говорах фиксируется редко и локально.

Фамилия Быгар — пример того, как прозвище обошлось без суффикса и стало фамилией напрямую. Такое случалось либо в среде, где фамилии закреплялись поздно и неформально, либо у переселенцев из регионов, где модель «прозвище = фамилия» была нормой (например, у казаков или у выходцев из Молдавского княжества). Носителей фамилии мало, и в дореволюционных переписях она почти не встречается за пределами южных губерний.