Фамилия Быковыа — редкий и нестандартный случай в русской ономастике. Сразу скажем: с точки зрения словообразования она выглядит аномально. Подавляющее большинство русских фамилий на -ов/-ев, -ин, -ский образованы от основ, оканчивающихся на согласный или -а/-я. Здесь же мы видим окончание -ыа, что совершенно нехарактерно для фамилий великорусского происхождения.

Скорее всего, перед нами не исконно русская фамилия, а результат искажения при записи или переселении. Самая вероятная версия: Быковыа — это фонетическая или графическая ошибка, возникшая при переписи населения или в документах. Исходная фамилия могла быть Быкова (женская форма от Быков) или Быковы (форма множественного числа, типичная для северных и сибирских говоров, например, «семья Быковы»). В некоторых регионах, особенно при слабой грамотности писарей, окончание -ы или -а могли записать слитно или с лишней буквой. Встречается также вариант, что это украинская или белорусская фамилия, где суффикс -ыа мог возникнуть под влиянием местных диалектов, но подтверждений этому мало.

Основа фамилии — прозвище или мирское имя Бык. В древнерусской традиции человека могли назвать Быком за упрямство, силу, крупное телосложение или за то, что он держал быков. Такие «животные» имена были распространены до XVII века, пока церковь не начала активно бороться с языческими прозвищами. Фамилии Быков, Быковский, Бычков встречаются часто, а Быковыа — единичный случай, скорее всего, ошибка писаря, закрепившаяся в одной конкретной семье.

Если вы носите эту фамилию, стоит заглянуть в архивные записи по региону проживания ваших предков. С большой вероятностью в более ранних документах (ревизских сказках, метрических книгах) вы найдете написание Быков или Быкова. Аномальное окончание — не повод для мифологизации, а просто особенность документальной истории, которая делает вашу фамилию уникальной с точки зрения орфографии.