Фамилия Чаинський звучит по-польски или по-западноукраински. Суффикс -ський (в русской передаче — -ский) указывает на шляхетское или, реже, географическое происхождение: так образовывали фамилии владельцев поместий или жителей определённой местности. Основа же — «Чаин» — вызывает вопросы.

Самый прямой путь — от названия населённого пункта. В Польше и на Западной Украине есть несколько сёл с корнем «Чая» или «Чаин» (например, Чая — в Малопольском воеводстве). Житель такого села получал прозвище «Чаинський», то есть «тот, кто из Чаина». Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит прозвище от слова «чай» — не как напиток, а как диалектное название чайки или даже человека, который любил чай (хотя для чаепития фамилия появилась бы поздно, в XVIII–XIX веках, когда чай вошёл в обиход).

Второй вариант — отчество. В польской ономастике фамилии на -ский могли образовываться от личного имени Чай (уменьшительное от Чеслав или Чаеслав). Тогда Чаинський — «сын Чая» с добавлением шляхетского суффикса, что не редкость для мелкой знати, которая хотела подчеркнуть свой статус.

Обратите внимание на написание: через «и» с мягким знаком — «Чаинський». Это указывает на украинскую фонетику: в русском языке было бы «Чаинский», а в польском — «Czaiński». Если ваши предки писали фамилию именно так, они, скорее всего, происходили с территории современной Западной Украины (Галичина, Волынь) или из приграничных с Польшей регионов. Сословно это могли быть обедневшие шляхтичи или зажиточные крестьяне, получившие фамилию по месту жительства.

Сравните с однокоренными: Чаев, Чаин, Чайковский. Последняя — самая известная, но её корень — «чайка», а не «чай». У Чаинських связь с птицей или напитком маловероятна: географическая привязка перевешивает.