Фамилия Чайкивська — это женская форма фамилии Чайкивський, распространённая в украинской ономастике. Если вы ищете свои корни, первое, что нужно знать: эта фамилия почти наверняка происходит от названия населённого пункта, а не от птицы или прозвища. В отличие от русских фамилий на -ский, которые часто указывали на владение землёй (княжеские или дворянские), украинские фамилии на -ський/-цький в массе своей — топонимические, то есть образованы от названий сёл, хуторов или рек.

Основа здесь — Чайк-, и логичнее всего искать её в географических названиях. На Украине есть несколько сёл с похожими именами: Чайкивка, Чайкино, Чайки. Фамилия Чайкивський могла появиться у человека, который переехал из такого села в другое место, или у потомков выходцев оттуда. Суффикс -івськ- (в русском варианте -овск-) как раз и выполняет роль «притяжательного» указателя на принадлежность к местности: «тот, кто из Чайкивки». Модель образования типична для украинского ономастикона XIX века, когда фамилии активно закреплялись за крестьянами и казаками после отмены крепостного права.

Версия о происхождении от прозвища Чайка (по птице) менее вероятна, хотя и не исключена. Прозвища по птицам давали людям за сходство в поведении или внешности, но в таком случае фамилия обычно оформлялась бы иначе — через суффиксы -енко, -ук, -юк (Чайченко, Чайчук) или просто Чайка. Суффикс -ський в украинской среде почти всегда «привязан» к топониму, а не к личному прозвищу. Так что, если ваши предки — из западных или центральных областей Украины, скорее всего, они носили фамилию по месту жительства.

Написание через «и» (Чайкивська, а не Чайковська) — важная деталь. Оно указывает на украинскую фонетику: в корне Чайк- после твёрдого согласного звучит [и], что на письме передаётся буквой «и». В русском языке аналогичная фамилия звучала бы как Чайковская, и это различие помогает локализовать регион происхождения — скорее всего, это Правобережная Украина или Волынь, где такие формы распространены.

Сословная принадлежность носителей фамилии Чайкивський, скорее всего, была крестьянской или казацкой. Дворянские фамилии на -ский в украинских землях встречались реже и часто имели польское происхождение, но Чайкивський к ним не относится — у неё нет гербовой традиции и упоминаний в родословных книгах. Это «народная» фамилия, которая закрепилась за простыми людьми в XIX веке.

Если вы ищете конкретное село Чайкивку, учтите, что на Украине их несколько, и названия могли меняться со временем. Без генеалогического поиска по документам (метрические книги, ревизские сказки) определить точное место сложно, но сама фамилия — хорошая зацепка: она прямо говорит, что предки жили в месте, которое называли «Чайкиным» или «Чайковым».