Фамилия Чайковська — это женская форма фамилии Чайковський, и её появление напрямую связано с историей украинских земель, входивших в состав Речи Посполитой, а затем Российской империи. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, которые чаще образовывались от имени или прозвища отца, фамилии на -ський/-цький в украинской и польской традиции имели другое происхождение. Они указывали на принадлежность человека к определённой местности — селу, местечку или владению. Поэтому носитель фамилии Чайковський, скорее всего, происходил из населённого пункта с корнем «Чайк-». Таких топонимов несколько: Чайковка, Чайкино, Чайковичи — они встречаются на территории современной Украины, Беларуси и Польши. Человек, переехавший из такого места в другой город, получал прозвище по названию родного села, которое со временем закрепилось как фамилия.

Суффикс -ськ- в фамилии — классический признак шляхетского или казацко-старшинского происхождения. В XVII–XVIII веках фамилии на -ський на украинских землях носили представители привилегированных слоёв: православная и униатская шляхта, казацкая старшина, зажиточные мещане. Однако к XIX веку эта модель распространилась и среди крестьянства, особенно после реформы 1861 года, когда многим бывшим крепостным приписывали фамилии по названию их бывших деревень. Таким образом, Чайковська может быть как потомственной шляхетской фамилией, так и относительно поздней крестьянской.

Сама основа «Чайк-» вызывает споры. Самое очевидное объяснение — от названия птицы чайки. В славянских языках это слово могло быть прозвищем человека с лёгким, «летучим» характером или, наоборот, того, кто живёт у воды. Но есть и другая версия: в польском языке «czajka» — это также название старинного военного судна запорожских казаков (чайка). Такое прозвище мог получить лодочник, речник или казак. Впрочем, для топонимической фамилии (по названию села) исходное значение слова уже не так важно — важнее, что так назвали место.

В написании Чайковська (с буквой «сь» на конце) видна украинская орфография. В русском языке та же фамилия будет выглядеть как Чайковская. Это не просто разная транскрипция — в украинском варианте сохраняется мягкость согласного, что характерно для юго-западных говоров. Интересно, что фамилия Чайковський/Чайковская не имеет прямого отношения к композитору Петру Чайковскому: его род происходил из польской шляхты, а фамилия образована от села Чайка под Кременчугом. Но это лишь одна из многих ветвей.

Что касается распространения: фамилия Чайковська сегодня наиболее частотна на западе Украины — в Тернопольской, Львовской, Ивано-Франковской областях, а также в Волынской и Ровенской. Встречается она и в Польше, но там чаще пишется как Czajkowska. Если ваши предки носили именно украинское окончание -ська, это может указывать на то, что семья сохраняла национальную идентичность даже в условиях русификации.