Фамилию Чайковская вы, скорее всего, встретите в женском роде, но её основа — мужская форма Чайковский. Это типичная польская или украинская фамилия, образованная по модели прилагательного с суффиксом -ск-/-цк-. Такие фамилии в Речи Посполитой давали по названию поместья, села или урочища, где жил шляхтич. Значит, предок носителя фамилии был владельцем или жителем места с корнем «Чайк-».

Самая прямая версия — топоним Чайки или Чайково. Таких деревень и хуторов немало на территории современной Украины, Беларуси и восточной Польши. Название, скорее всего, пошло от птицы чайки — возможно, местность была болотистой или у воды. Но есть и вторая, менее очевидная версия: в основе может лежать не птица, а личное имя Чайка. В старину Чайкой могли прозвать человека с лёгким, «птичьим» нравом или, наоборот, с заметной внешностью. В польском языке «czajka» — это и чайка, и (в переносном смысле) бойкая, шустрая женщина, но прозвище могло закрепиться за мужчиной.

Обратите внимание на суффикс -овск- (Чайковский), а не -инск- (Чайкинский). Это указывает на более формальный, «дворянский» способ образования: фамилии на -ский в Польше и на западе Украины часто носили мелкая шляхта и казацкая старшина. В Российской империи такие фамилии тоже могли давать семинаристам при поступлении в духовные училища — по названию родного села или просто «красивости» звучания. Так что Чайковская могла появиться и у выходцев из духовного сословия.

Интересная деталь: знаменитый композитор Пётр Ильич Чайковский происходил из рода, который возводил себя к казацкому роду Чайок на Украине. Но это именно родовое предание, а не доказанный факт для всех носителей фамилии. Большинство Чайковских — люди, чьи предки просто жили в местности с названием, производным от чайки. Если ваша фамилия Чайковская, то географически корни с наибольшей вероятностью лежат в Правобережной Украине или в Беларуси, где такие названия распространены особенно густо.