Фамилия Чебриковская — редкий пример польского или западнорусского дворянского образования с суффиксом -ск(ая). По модели это типичная «географическая» фамилия, которую давали по названию имения или местечка. В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от имени отца, фамилии на -ский в Российской империи носили в основном шляхта, духовенство и выходцы из западных губерний — отсюда и её нечастый, книжный оттенок.

Основа Чебриков- восходит к топониму Чебриково или Чебрики. Такие названия встречаются на территории бывшей Речи Посполитой: в современных Беларуси и Украине. Корень, скорее всего, связан с диалектным словом «чебер» или «чебрик» — так в некоторых говорах называли чистоплотного, опрятного человека, а также вид растения (чебрец, то есть чабрец). Но надёжнее версия, что в основе лежит антропоним Чебрик — прозвище или уменьшительная форма от имени Чебор (древнерусское Чебор, возможно, от «чебер» — умелый, ловкий). Словарь Веселовского фиксирует фамилию Чебриков в среде служилых людей XVI–XVII веков, но форма на -ская появилась позже, в шляхетской среде, и закрепилась за женщиной (жена или дочь Чебриковского).

Женское окончание -ая в фамилии Чебриковская указывает, что в современном русском языке она не склоняется по мужскому роду (мужчина — Чебриковский). В польской традиции форма звучала бы как Czebrykowska — с твёрдым «ч» и характерным сочетанием «rz» (читается как «ж»). Если ваши предки носили эту фамилию, они с большой вероятностью происходили из мелкопоместной шляхты или духовного сословия юго-западных губерний — Киевской, Волынской, Подольской. После разделов Польши такие фамилии нередко русифицировали, меняя окончание на -ов, но вариант Чебриковская сохранил исходную польскую модель.