Фамилия Чемидронов — одна из тех, где сразу бросается в глаза необычная основа. В русском ономастиконе фамилии на -дронов встречаются, но редко, и почти всегда восходят к прозвищам от диалектных или заимствованных слов. Разберем её по частям.

Корень фамилии — «Чемидрон». Скорее всего, это переоформленное прозвище Чемидро, образованное по той же модели, что и «Андрон» от Андрей, или «Митрон» от Дмитрий. В народной речи греческое имя Димитрий (Дмитрий) давало множество производных: Митя, Митроха, Митрон. Но Чемидро — форма более редкая. Возможно, это искажение от крестильного имени Фемистокл или Семид (семид — полубог в античной мифологии, но в русском быту такое имя маловероятно). Правдоподобнее версия, что основа — диалектное слово «чемодан» или «чемидан» (в южнорусских говорах так называли дорожный сундук, а также толстого, неповоротливого человека). Суффикс -он в прозвище Чемидрон мог появиться как экспрессивное окончание, по аналогии с «балбес — балбесон», «дурак — дуракон». То есть Чемидро — это «чемодан» в пренебрежительно-увеличительной форме: «большой чемодан» или «толстяк».

Фамилия образована по стандартной русской модели: прозвище Чемидрон + патронимический суффикс -ов. Это значит, что Чемидронов — потомок человека по прозвищу Чемидрон. Первым носителем фамилии мог быть либо приезжий мастер-чемоданщик (скорняк, делающий дорожные сундуки), либо человек с характерной внешностью — грузный, медлительный. В пользу прозвища по внешности говорит то, что фамилия не имеет географической привязки: она встречается в разных регионах России, но крайне редко.

В словарях русских фамилий (например, у Б. О. Унбегауна) фамилии на -дронов обычно относят к разряду искусственных или семинарских, но для Чемидронова это маловероятно — слишком бытовая, «простонародная» основа. Семинаристы чаще брали фамилии от латинских или греческих корней (Любомудров, Сперанский). Чемидронов же — типичная «прозвищная» фамилия, закрепленная в крестьянской или мещанской среде.

Итог: Чемидронов — редкая русская фамилия, образованная от прозвища Чемидрон, которое, скорее всего, восходит к слову «чемодан» (в значении «толстяк» или «мастер по чемоданам»). Вторая версия — искажение имени Дмитрий (через форму Чемидро), но она менее убедительна из-за отсутствия промежуточных форм в документах. Фамилия не имеет дворянского происхождения и не связана с известными историческими родами.