Фамилия Чевышева чаще всего встречается в Поволжье, особенно в Самарской и Ульяновской областях, а также в Татарстане. Эта география — первая подсказка. Основа фамилии, «Чевыш», почти наверняка восходит к тюркскому языку. В татарском, башкирском и чувашском есть слово «чевеш» или «чәүш» — так называли бойкого, вертлявого, непоседливого человека, иногда даже «ерша» или «задиру». Прозвище Чевыш давали человеку с живым, беспокойным характером, который не сидит на месте.

Словообразовательная модель здесь простая и типичная для русского Поволжья: к тюркскому прозвищу добавили русский фамильный суффикс -ев. Фамилия Чевышев (а женская форма Чевышева) образована так же, как, скажем, Алышев или Булатов. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий согласный (Чевыш → Чевышев). Это стандартная адаптация нерусского прозвища в русскую фамильную систему.

Редкость фамилии в том, что она почти не имеет вариантов написания. Встречается форма Чевышов, но она единична и, скорее всего, возникла из-за ошибки в документах. Второй возможный, но менее вероятный корень — диалектный русский глагол «чевыкать» (говорить быстро, невнятно, тараторить). Однако тюркская версия убедительнее: во-первых, она объясняет географию бытования фамилии, во-вторых, в русских говорах «чевыкать» — слово редкое и локальное, а прозвище Чевыш в Поволжье фиксируется в переписях XVII–XVIII веков именно как тюркское.

Если у ваших предков была фамилия Чевышева, с большой вероятностью они происходили из среды служилых татар, крещёных чувашей или мордвы, живших на территории бывшего Казанского ханства. Прозвище указывало на живой нрав основателя рода — «вертлявого» или «бойкого» человека. В сословном плане это могли быть государственные крестьяне или однодворцы, реже — мещане. Дворянских родов с такой фамилией в истории не зафиксировано.