Фамилия Чичёваьть — редкий случай, где написание расходится с произношением и, скорее всего, возникло из-за ошибки переписчика или паспортиста. Вероятнее всего, перед нами искажённая форма фамилии Чичёв или Чичёвкин, где конечное «ть» — это артефакт, а не суффикс. В русской ономастике суффикс -ть не образует фамилий, поэтому исходное слово или прозвище нужно искать в основе «чич-».

Корень «чич» в русских говорах многозначен. В северных и сибирских диалектах «чича» — это болотная грязь, топь, а также неряшливый или капризный человек. В рязанских и тульских говорах «чичкать» означало «марать, пачкать», отсюда «чичка» — грязнуля. Таким образом, прозвище Чича могли дать либо тому, кто жил у болота, либо человеку неопрятному или привередливому. Второй вариант — звукоподражательное «чич» для подзывания уток, но тогда прозвище могло закрепиться за охотником.

Если отбросить конечное «ть», то модель фамилии стандартна: основа Чичёв (от Чич + -ев) или Чичёвь (от Чич + -ёвь, что встречается в южнорусских фамилиях). Суффикс -ев указывает на притяжательность: «сын Чича». Географически фамилии с корнем «чич» чаще встречаются в центральных и северных областях России, но точную привязку для Чичёваьть установить сложно из-за искажения.

В словаре Веселовского есть упоминание «Чич» как личного имени или прозвища в XV–XVI веках. Возможно, предок носителя фамилии был крестьянином или ремесленником, получившим прозвище за характер или место жительства. Современное написание с «ьть» на конце — почти наверняка канцелярская описка: при записи со слуха мягкий знак мог появиться после «в», а затем неверно перенестись в конец.