Фамилия Чичкунова — женская форма мужской фамилии Чичкунов. Она образована по самой распространённой в русской ономастике модели: от прозвища или имени отца с помощью суффикса -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Чичкуно́ва.

Корень здесь — «чичк-», который в русских говорах встречается в нескольких значениях. Самое вероятное: диалектное слово «чичка» — так в некоторых областях называли птицу, чаще всего пеночку или синицу. Прозвище Чичка могли дать человеку маленького роста, юркому или с высоким голосом. Вторая версия, менее распространённая, но тоже возможная: «чичка» в рязанских и тамбовских говорах означала «кукла», «игрушка» — такое прозвище могло относиться к нарядно одетому или изящному человеку. Третья гипотеза — связь с тюркским корнем «чич» (в значении «царапина», «рана»), но для центральной России она слабая: фамилия Чичкунов встречается в основном в коренных русских регионах, особенно в Поволжье и на Урале.

Суффикс -ун- в основе «Чичкун» — типичный для русских прозвищ, обозначающих деятеля или носителя признака (ср. Болтун, Молчун). Получается, что Чичкун — это человек, которого прозвали по птичке или игрушке, а Чичкуновы — его потомки. Сословная принадлежность у этой фамилии не закреплена: носители могли быть и крестьянами, и мещанами, и духовенством — данные разбросаны по разным губерниям.

В написании фамилии нет ничего необычного: она не менялась со временем, не путалась с другими, вроде Чичагова или Чикина. Главное — не путать корень с «чиж»: здесь именно «чик/чич», а не «чиж». Если искать однокоренные фамилии, то это Чичкин, Чичков, Чикунов — все они идут от того же прозвищного гнезда.