Фамилия Чилягин — редкая и с неочевидной этимологией. Её основа не связана с распространёнными в русском языке словами, поэтому разбор требует обращения к диалектам, профессиям и, возможно, иноязычным заимствованиям.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Чилягин), то есть предка звали Чиляга. Само прозвище Чиляга могло возникнуть несколькими путями. Наиболее вероятная версия — от глагола «чилять» (или «чиликать»), который в некоторых русских говорах (особенно южных и вологодских) означал «шататься без дела», «слоняться», «бездельничать». Соответственно, Чиляга — прозвище ленивого или праздного человека. Возможно и другое значение того же глагола — «плохо петь», «пищать», тогда прозвище дали бы обладателю слабого, скрипучего голоса.

Менее очевидная, но заслуживающая внимания версия — связь с тюркскими языками. В татарском и башкирском есть слово «чиләк» (ведро), а в казахском «шілік» (голень, прут). Прозвище Чиляга мог получить человек, связанный с изготовлением или продажей вёдер (бочар, водовоз) либо, что реже, — очень худой, с тонкими ногами. Однако для тюркской гипотезы характернее суффикс -ов (Чиляков), а не -ин, что делает её менее правдоподобной для этой конкретной фамилии.

Географически фамилия Чилягин встречается крайне редко, преимущественно в центральных областях России (Владимирская, Ивановская, Нижегородская) и единично — на Урале. Это указывает на то, что фамилия, скорее всего, сформировалась в крестьянской среде, где прозвища по поведению или внешности были обычным делом. Социальный статус носителей в XVIII–XIX веках, судя по доступным данным, — в основном государственные крестьяне и мещане.

В итоге: Чилягин — фамилия, в основе которой лежит прозвище Чиляга. Скорее всего, оно давало характеристику человеку (бездельник или тот, кто пищит), но нельзя полностью исключать и редкое профессиональное значение, связанное с тюркским «ведро».