Фамилия Членюга — редкая и неочевидная для постороннего уха. Её происхождение напрямую связано с древнерусским словом «член», но не в современном анатомическом смысле, а в значении «часть чего-либо», «отдельная единица». В старину «член» означало «сустав», «колено родословной», «долю в общине» или «отрезок». Прозвище Член могли дать человеку крепкого, ладного телосложения (каждый сустав на месте), либо, наоборот, тому, кто выделялся какой-то особой статью — был видным, заметным членом общины.

Суффикс -юга в русских фамилиях — явление нечастое. В отличие от массовых -ов/-ев или -ин, он характерен для северных и южнорусских говоров, а также для украинского языка, где -юга придаёт слову увеличительный или пренебрежительный оттенок (ср. «ветрюга», «дождюга»). В фамилии Членюга этот суффикс мог означать «большой член» в смысле «крупная часть» или «видный человек». Таким образом, фамилия могла закрепиться за рослым, дородным мужчиной — «членюга» как «здоровенный детина».

Есть и другая, более прозаичная версия. В некоторых говорах «член» означало «доля пахотной земли» или «надел». Членюгой могли прозвать крестьянина, который получил большой или неудобный участок, либо того, кто постоянно спорил о переделе общинных наделов. Фамилия могла возникнуть в среде однодворцев или государственных крестьян южных губерний России, где фамилии на -юга встречаются чаще.

С точки зрения словообразования, фамилия Членюга — это застывшее прозвище в именительном падеже. Она не склонялась по типу «сын Члена», а сразу закрепилась как фамилия-прозвище. Это говорит о том, что её носитель, скорее всего, не был знатного рода — такие формы типичны для крестьянской и казачьей среды, где фамилии оформлялись поздно и часто прямо по уличному прозвищу.

В современных документах фамилия Членюга встречается крайне редко, в основном в Краснодарском крае и на Украине. Сравните с однокоренными фамилиями: Членов (более распространённая, книжная форма от «член общества»), Членистый (от «членистый» — суставчатый), Членко (украинская форма с уменьшительным суффиксом). Членюга стоит особняком — это не сухая канцелярская фамилия, а живое, образное прозвище, которое сохранило в себе отголосок деревенского говора и бытовой наблюдательности.