Фамилия Чокати настолько редкая, что её носители, скорее всего, могут пересчитать друг друга по пальцам. В официальных базах данных и классических словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов) она не фиксируется. Это не ошибка, а указание на то, что перед нами не массовая модель, а локальное или диалектное образование.

В основе фамилии лежит прозвище или мирское имя Чокат. Глагол «чокать» в русских говорах имеет несколько значений: издавать звонкий звук (чокать стаканами), а также — бить, ударять. В южных и западных диалектах «чокатый» могло означать «тот, кто ходит вразвалку», «косолапый» (от «чокать» — стучать ногами при ходьбе). Таким образом, Чокати — это, вероятно, человек с характерной походкой или тот, кто работал с молотком, наковальней, то есть был кузнецом или плотником.

Суффикс «-и» в окончании — редкая для русской ономастики черта. Он характерен для украинских фамилий западных регионов (типа Кучери, Гончари) или для фамилий, оформленных по молдавской/румынской модели (Чобану — Чобати). Но в русском контексте окончание «-и» может быть результатом адаптации исходной формы. Если фамилия действительно русская, то первоначально она могла звучать как Чокатов (чей? — сын Чоката), но в устной речи, особенно в условиях диалектного аканья или в малограмотной среде, окончание редуцировалось до «-и» и закрепилось на письме.

Намного правдоподобнее версия о нерусском происхождении. Фамилия Чокати с высокой вероятностью относится к грузинским. В грузинском языке суффикс «-ати» (или «-ети») — один из самых распространённых топонимических и фамильных показателей, указывающий на принадлежность к местности или роду (ср. Гуриели — из Гурии, Орбелиани — из рода Орбели). Основа «Чок-» может быть связана с грузинским словом «чока» (козёл, козлёнок) или с топонимом Чоката (село в Грузии). Тогда Чокати означает «принадлежащий Чоке» или «выходец из Чоката». В этом случае фамилия — не русская, а занесённая на территорию России в результате миграций из Грузии или с Кавказа.

Итог: если ваши предки жили в центральной России, фамилия могла возникнуть как прозвище по походке или ремеслу (с нестандартным окончанием). Если же корни ведут на юг, в сторону Кавказа, то Чокати — почти наверняка грузинская фамилия, указывающая на родовое гнездо. Точный ответ может дать только семейная легенда или запись в метрической книге, где указано место рождения.