Фамилия Чувяко — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а предмет одежды. Исходное слово — «чувяк», так на юге России, Украине и Кавказе называли мягкие кожаные туфли без каблука, вроде тапочек или легких сапожек. Слово тюркского происхождения (ср. турецкое çarık — «башмак»), в русские говоры пришло через посредничество украинского или кубанского диалекта.

Фамилия образована по продуктивной модели на -о, типичной для украинской и белорусской ономастики. Суффикс -к- в основе (Чувяк-о) указывает на то, что фамилия, скорее всего, закрепилась в среде, где было принято называть человека по предмету, который он носил или изготавливал. Чувяко — это прозвище сапожника, мастера по пошиву чувяков, либо человека, который постоянно ходил в такой обуви. В украинских фамилиях на -о (как Стеценко, Коваленко) оно обычно сигнализирует о сыновьей связи, но здесь, при отсутствии патронимического суффикса, это скорее прямая номинация: «тот, кто имеет отношение к чувякам».

Встречается фамилия преимущественно в южнорусских и украинских областях, особенно в Краснодарском крае и Ростовской области, где традиция носить чувяки была распространена среди казачества. Встречаются варианты написания Чувяков (с русским суффиксом -ов), но форма Чувяко архаичнее и лучше сохраняет исходное прозвище. Фамилия не относится к числу распространенных, поэтому носители, скорее всего, связаны родством, и их предки — мастера кожевенного или сапожного дела на Кубани или в Приазовье.