Фамилия Дамут редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русской ономастике она почти не встречается, и искать её корни стоит не в славянских языках, а в тюркских или финно-угорских наречиях.

Скорее всего, в основе фамилии лежит тюркское прозвище или имя. В тюркских языках есть корень «дам» (дым, туман, пар) или «даму» (в значении «наполнять», «дуть»). Прозвище Дамут могли дать человеку с пышной, «дымящейся» шевелюрой, либо тому, кто работал с огнём или в дыму — например, кузнецу или печнику. Суффикс -ут в тюркских языках часто образует прилагательные или имена деятеля, так что Дамут могло означать «дымный», «туманный» или «надувающий» (в прямом смысле — меха кузнечные).

Есть и менее вероятная, но возможная версия — связь с арабским словом «дамут» (или «дамут» в диалектах), которое может означать «смешанный», «разнородный». В таком случае прозвище могло закрепиться за человеком из смешанной семьи или за приезжим.

Географически фамилия Дамут встречается у татар, башкир, а также у народов Кавказа (например, у кумыков или ногайцев). В русском контексте она могла появиться через крещение инородцев или через переселенцев. Модель образования без стандартного русского суффикса (-ов, -ин) указывает на то, что фамилия сохранила исходную тюркскую форму и не была русифицирована — это дополнительный аргумент в пользу её позднего закрепления в документах, возможно, в XIX веке.

Если ваша семья помнит о татарских или башкирских корнях, версия с прозвищем от «дыма» или «тумана» — самая правдоподобная. Если же предки жили на Кавказе, стоит проверить местные говоры, где «дамут» могло означать «шумный» или «беспокойный».