Фамилия Данои — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, это не исконно русская фамилия, а результат адаптации иностранной фамилии на русской почве или вариант написания, возникший из-за ошибки в документах. В русской ономастике модель на -ой (Данои) встречается, но обычно это окончание прилагательного (Толстой, Благой), а не часть корня.

Первая и самая вероятная версия — итальянское или румынское происхождение. В итальянском существует фамилия Danoi, которая, в свою очередь, может быть вариантом Danoy или Danai. Корень «Dan» часто отсылает к библейскому имени Дан (от ивритского «судья»). В этом случае фамилия могла означать «потомок Дана» или «относящийся к Дану». В Румынии и Молдавии фамилия Dănoi встречается чаще, и её основа — уменьшительная форма имени Дан (Dan + суффикс -oi). Таким образом, предки носителя фамилии Данои могли быть выходцами из Италии, Румынии или из молдавских сел.

Вторая версия связана с еврейскими фамилиями. Среди ашкеназских евреев встречается фамилия Даной (Danoy), которая могла быть образована от названия города или местечка. Без точного указания на населенный пункт эту гипотезу сложно подтвердить, но она правдоподобна, учитывая, что фамилия нехарактерна для славянского словообразования.

Третья версия — чисто русская, но маловероятная. Если предположить, что фамилия образована от прозвища «Даной», то корень мог быть связан с глаголом «дать» или словом «дань» (даньщик, сборщик дани). Однако суффикс -ой в таком значении нестандартен, и аналогий в русских фамилиях практически нет. Скорее всего, это народное переосмысление уже готовой иноязычной фамилии.

Самое интересное в фамилии Данои — её редкость и неочевидный корень. Если ваши предки носили эту фамилию в Российской империи, стоит искать их в списках иностранных поселенцев (немцы, греки, итальянцы) или в метрических книгах еврейских общин. В современной России фамилия встречается единично, и почти наверняка её носители — потомки тех, кто сменил или адаптировал исходную фамилию при переезде.