Фамилия Дашавская образована по типичной для польско-белорусских и украинских земель модели: основа плюс суффикс -ск-/-цк- с окончанием, указывающим на женский род. В мужском варианте она звучала бы как Дашавский. Такие фамилии чаще всего указывали на географическое происхождение — на принадлежность к населённому пункту, от названия которого взята основа.

Корень «Дашав-» прямо отсылает к топониму. Наиболее вероятный источник — село Дашава (встречается в Львовской области Украины, также есть Дашов в Винницкой области). Название села, в свою очередь, связывают с личным именем Даш (уменьшительная форма от Даниил или Дорофей) либо с тюркским словом «таш» — камень. Вторая версия менее надёжна для западных областей, где фамилия распространена сильнее. Таким образом, первый носитель фамилии Дашавский, скорее всего, был либо выходцем из Дашавы, либо владел там землёй, либо получил прозвище по месту жительства.

По социальному составу такие фамилии на -ский в XVI–XVIII веках чаще принадлежали шляхте и духовенству, но со временем распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда многим давали фамилии по названиям сёл. Поэтому предки Дашавских могли быть как мелкими землевладельцами, так и крестьянами, переселившимися из Дашавы в другие места.

Фамилия редкая, не входит в списки самых частых русских фамилий. Её ареал тяготеет к западу Украины и Беларуси, а также к югу России, куда шли миграционные потоки. В письменных источниках XVIII–XIX веков встречаются варианты написания с двумя «с» (Дашавская) и с одной (Дашавская), что связано с разной адаптацией польского суффикса. Современное написание закрепилось в русской орфографии.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Дашавский/Дашавская стоит в одном ряду с Дашков, Дашкевич, Дащенко — все они восходят к имени Даш, но различаются суффиксами, которые указывают на разную географию и социальную среду: -ов — великорусская модель, -евич — белорусско-украинская, -ский — польско-шляхетская.