Фамилия Дашовская — одна из тех, что сразу указывает на географическое происхождение предка. Её основа — топоним, то есть название населённого пункта. В данном случае это, скорее всего, село или местечко с названием Дашово (или Дашова, Дашов). Такие названия встречаются в Беларуси (например, деревня Дашово в Могилёвской области) и на Украине. Суффикс -ск- в фамилии — классический признак дворянских или шляхетских фамилий, но в реальности его могли получить и крестьяне, и мещане, переселившиеся из своего села в другое место. Вопрос «откуда ты?» порождал ответ «из Дашова», который со временем закрепился как фамилия.

Корень «Даш-» в топониме может восходить к личному имени Даш (уменьшительная форма от Даниил, Давид или Дорофей) либо к прозвищу. В древнерусском языке «даша» — форма глагола «дать» (аорист, 3-е лицо множественного числа: «они дали»). Но связывать фамилию напрямую с этим глаголом рискованно: скорее, название села произошло от имени первопоселенца или владельца. В польской ономастике встречается фамилия Daszowski, что тоже подтверждает западнославянский след.

Интересная деталь: окончание -ая (Дашовская) указывает на женскую форму. В русской традиции такие фамилии не склонялись по родам, а вот в украинской и белорусской среде долго бытовали парные варианты: мужчина — Дашовский, женщина — Дашовская. Сейчас форма на -ая закрепилась как общефамильная, но её происхождение напоминает о том, что носительница могла быть дочерью или женой Дашовского.

Сравните с однокоренными фамилиями: Дашков, Дашкевич, Дашутин. Все они образованы от того же имени Даш, но разными суффиксами. Дашовская стоит особняком — это «географическая» фамилия, а не «патронимическая» (по отцу). Поэтому предки носителей этой фамилии, скорее всего, были не просто потомками некоего Даша, а выходцами из конкретного поселения, которое так называлось. Сословная принадлежность могла быть разной: от крестьян до мелкопоместной шляхты, но без дополнительных документов (метрик, ревизских сказок) утверждать что-то точнее нельзя.