Фамилия Дашинская — типичная «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта. В её основе лежит топоним Дашино, Дашин или Дашинск — такие деревни и хутора встречались на западе Российской империи, особенно на территории современной Беларуси и Смоленщины. Суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту: Дашинский — тот, кто родом из Дашина. Женская форма Дашинская закрепилась за дочерью или женой носителя мужской фамилии, а со временем стала передаваться по наследству.

Корень «Даш-» восходит к личному имени Даша — уменьшительной форме от Дарья или Даниил. Дарья в народной этимологии нередко связывалась со словом «дар», а Даниил — с библейским «судья Божий». Однако прямое значение фамилии не «дар» и не «судья», а «относящийся к поселению Дашино», которое, в свою очередь, названо по имени владельца или первопоселенца. Такая модель образования — одна из самых распространённых среди дворянских и шляхетских фамилий, но в XIX веке её активно перенимали и крестьяне, получавшие фамилии по месту жительства.

Интересная деталь: в польской ономастике фамилия Дашинская (Daszyńska) встречается чаще, чем в русской. Это объясняется тем, что на землях Речи Посполитой топонимы на -ино/ -ино часто переоформлялись в прилагательные на -ский, -цкий. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они происходили из мелкопоместной шляхты или зажиточных крестьян западных губерний — Могилёвской, Витебской, Гродненской.

Встречается и более редкая версия: от прозвища Даша — так могли называть не только женщину, но и мужчину с мягким, «девичьим» характером. Однако в случае с фамилией Дашинская эта гипотеза слабее: суффикс -ск- почти всегда привязывает фамилию к местности, а не к личному прозвищу.

По данным современных телефонных справочников, Дашинские компактно живут в Беларуси (Минская, Брестская области) и на западе России (Псковская, Смоленская области). В украинских архивах фамилия фиксируется с XVIII века — например, в метрических книгах Черниговского полка.