Фамилия Дашинич звучит на русский слух как явный «балканец»: суффикс -ич выдаёт происхождение из южнославянской среды (сербской, черногорской, реже хорватской или боснийской). В русской традиции такие фамилии тоже встречаются, но почти всегда как принесённые переселенцами или беженцами. В отличие от типичных русских фамилий на -ов/-ев или -ин, модель на -ич указывает на патроним — «сын Дашина». То есть основа фамилии — личное имя или прозвище Даша, Дашин.

Здесь главная загадка: что такое «Даша» в мужском варианте? В русском языке Даша — это сокращение от Дарьи, женского имени. Но для южных славян это не женское имя. У сербов и черногорцев Даша (или Дашо) — это гипокористика от мужских имён Данило, Давид, Дамад, а иногда и от Дашко — старого западнославянского варианта имени Данила. Поэтому Дашинич — это буквально «сын Даши», то есть потомок человека, которого в быту звали Даша (в мужском роде). Фамилия редкая, в русских справочниках почти не фиксируется, зато встречается у сербов в Черногории и в исторической области Герцеговина.

Есть и альтернативная версия: фамилия могла возникнуть на русской почве, если предка звали Даша в значении прозвища. В диалектах русского севера «даша» — ласковое обращение, а в некоторых говорах так называли любимого ребёнка. Но эта гипотеза слабее: суффикс -ич для русских фамилий нетипичен, он скорее указывает на польское или белорусское влияние, а там мужское Даша — тоже редкость. Поэтому южнославянское происхождение — основное.

Носители фамилии Дашинич, если они живут в России, скорее всего, имеют корни из бывшей Югославии — возможно, из семей, переехавших в XIX–XX веках. Фамилия не даёт точной привязки к сословию: среди сербов её могли носить и крестьяне, и горожане. В написании стоит обратить внимание на ударение: в сербском варианте оно падает на первый слог — Да́шинич, в русском языке часто смещается на второй — Даши́нич.