Фамилия Дерьмодемонский — случай, когда этимология лежит на поверхности, но именно поэтому требует осторожности. Первое, что бросается в глаза, — составная основа из двух корней: «дерьм-» (от «дерьмо») и «демон-» (от «демон»). В русской ономастике такие «говорящие» прозвища встречаются, но чаще в среде крестьян или посадских людей, где грубость имени не считалась пороком, а служила оберегом или насмешкой. Однако суффикс «-ский» указывает на более позднее, часто дворянское или шляхетское происхождение фамилии. Именно это несоответствие и создаёт главную загадку.

Вероятнее всего, мы имеем дело не с реальным прозвищем, а с искусственной или переосмысленной фамилией. Суффикс «-ский» в русских фамилиях обычно закреплялся за выходцами из духовенства (семинарские фамилии) или за польской шляхтой. Семинаристы при поступлении нередко получали фамилии от наставников — иногда нарочито нелепые, чтобы смирить гордыню. Дерьмодемонский могла быть дана студенту с тяжёлым характером или как шутка. В польской традиции «-ский» — признак благородного происхождения, но соединить его с таким корнем почти невозможно: шляхтич не взял бы себе подобное имя добровольно.

Вторая версия — фамилия могла возникнуть из искажения. Например, от более благозвучной основы, вроде «Дермодемонский» (от греческого «дерма» — кожа) или «Дерьмодемьянский» (от имени Демьян). Со временем, при устной передаче или неграмотной записи, корень мог сместиться в сторону обсценного варианта. Такие метаморфозы встречаются: народная этимология «исправляет» непонятное слово в понятное, пусть и грубое.

С географией сложно: фамилия редкая, в исторических переписях XVII–XIX веков не встречается. Если искать её следы, то скорее в южных или западных губерниях Российской империи, где были сильны польские и малороссийские влияния. Носителей сегодня единицы, и все они, вероятно, потомки тех, кто получил фамилию в духовной среде или при переезде.

Так что ответ для человека с этой фамилией будет неоднозначным: ваши предки могли быть либо семинаристами, получившими нелепое прозвище от начальства, либо людьми, чья фамилия со временем «испортилась» в произношении. В любом случае, это не клеймо, а скорее курьёзный исторический артефакт.