Фамилия Дерьмушин — редкий случай, когда прозвище сохранило в основе слово с резко отрицательной окраской. В русском языке «дерьмо» — это нечистоты, отбросы, и переносить такое прозвище на реального человека напрямую было бы странно. Поэтому здесь почти наверняка не прямое оскорбление, а ироничное или обережное именование.

Самый вероятный путь: прозвище Дерьмуша (или Дерьмуш) давали человеку, который занимался чисткой выгребных ям, отхожих мест или работал с кожевенным сырьём — в старину обработка шкур тоже считалась «грязным» делом. В крестьянской среде такие профессии не были редкостью, и прозвище могло закрепиться за родом занятий, а не за личными качествами. Вторая версия — оберег: в дохристианской и ранней христианской традиции родители могли нарочно назвать ребёнка «плохим» именем (Дерьма, Гнида, Дурак), чтобы отвести от него злых духов. Считалось, что нечисть не позарится на того, кто и так «никуда не годится». Со временем такое прозвище становилось фамилией.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Дерьмушин — «сын Дерьмуши». Форма на -уша характерна для северных и центральных русских говоров, где уменьшительные и прозвищные имена нередко оканчивались на -уша (Горюша, Малышуша, Толстуша). Таким образом, Дерьмушин — это «сын того, кого звали Дерьмушей».

В дореволюционных переписях фамилия встречается единично, в основном в Пермской и Вятской губерниях — регионах, где активно развивалось кожевенное и скорняжное дело. В советское время носители фамилии часто меняли её на «Дерюгин» или «Державин» из-за неблагозвучия, поэтому Дерьмушиных осталось совсем мало. Сегодня это одна из самых редких русских фамилий, и её происхождение — не столько про «грязь», сколько про социальный срез: предки были ремесленниками или крестьянами, чья работа была тяжёлой и непрестижной, но необходимой.