Фамилия Дерзаев — русская по форме, но её основа ведёт в тюркский мир, а точнее — в мир прозвищ, связанных с характером. Вопреки первому впечатлению, прямого отношения к слову «дерзать» тут, скорее всего, нет, хотя народная этимология часто подводит носителей именно к этому глаголу. Лингвистически всё прозаичнее: в основе фамилии лежит тюркское мужское имя Дерза (вариант Дерзай). В языках, близких к татарскому и башкирскому, корень «дерз» означает «пот», «испарина», что в переносном смысле могло относиться к человеку горячему, вспыльчивому, «потливому» от гнева или усердия. Такие имена давали как обереги или как характеристику младенца — например, чтобы сглазить «горячность» или, наоборот, подчеркнуть живой нрав.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Дерза прибавили патронимический суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Дерзы). Окончание -ев, а не -ов, объясняется тем, что основа оканчивается на мягкий согласный или звук, который в старом произношении смягчался. Это типичный случай для фамилий, возникших в среде, где тюркские имена адаптировались к русской грамматике. Встречаются и однокоренные фамилии: Дерзаев, Дерзин, Дерзиев — они различаются суффиксами, но восходят к тому же источнику.

Географически фамилия Дерзаев распространена в Поволжье и на Южном Урале — в регионах, где веками жили рядом русские и тюркские народы. Встречается и у казахов, где форма обычно пишется как Дерзаев или Дерзай. Сословного барьера у фамилии не было: Дерзаевы могли быть и крестьянами, и мещанами, и служилыми людьми. В дореволюционных метрических книгах, например, по Симбирской губернии попадаются записи о крестьянах Дерзаевых, а в Оренбургском казачьем войске — о казаках с этой фамилией.

Есть и редкая версия, которую ономасты почти не рассматривают, но упомянуть стоит: в некоторых говорах «дерза» могло быть прозвищем смельчака, задиры, от глагола «дерзать». Однако для этого нет устойчивой диалектной базы, а тюркское происхождение надёжнее подтверждается именами-аналогами. Так что если ваш предок был Дерзаевым, он, скорее всего, носил имя, подаренное ему за живой и вспыльчивый нрав — или как пожелание таким стать.