Фамилия Добикова — женская форма, а её основа, мужская фамилия Добиков, образована по простой и распространённой модели: к основе прозвища или имени добавили суффикс принадлежности -ов. Вопрос в том, что легло в основу: имя Добко, прозвище Добок или что-то иное.

Самая прямая версия — от древнерусского нецерковного имени Добко. Это уменьшительная форма от славянского имени Добрыня (от «добрый»). Такие имена были часты в быту до XVII века: родители могли назвать сына Добром, Добрыней, а в кругу семьи — Добко. Со временем имя превратилось в фамилию: Добко → Добков → Добиков (с чередованием б/б’ под влиянием мягкого суффикса). Версия надёжная, подтверждается ономастическими словарями (например, работами В. Никонова по русским фамилиям).

Вторая возможная основа — прозвище Добок. В северных и сибирских говорах «добок» могло означать «добрый человек», но также — «добытчик» или «хозяин». В псковских диалектах «добок» — ласковое обращение к ребёнку. Если прозвище закрепилось за взрослым, оно могло указывать на мягкий характер или, наоборот, на хозяйскую хватку.

Третья, менее вероятная версия — связь с тюркскими корнями. В татарском и башкирском языках есть слово «дəү» (большой, старший) и суффикс -бек (князь). Однако фамилия Добикова нехарактерна для тюркских народов: у них обычно встречаются формы на -ов/-ев от имён вроде Добек, Добик. Скорее всего, это случайное созвучие, а не реальное происхождение.

Географически фамилия Добикова встречается в основном в центральной России и Поволжье, особенно в Нижегородской и Костромской областях. Там же в XVI–XVII веках были распространены имена Добрыня и Добко. Встречается и вариант Добиков (без чередования), но он редок.

Итог: скорее всего, предки носителей фамилии — люди, которых звали Добко или прозвали Добком. Никакого отношения к слову «добыча» фамилия не имеет — это народная этимология, не подтверждённая исторически.