Фамилия Домлжирова — случай, когда написание подсказывает больше, чем произношение. Если произнести её вслух, слышится «Доможирова» или «Доможиров». Именно так, скорее всего, она и выглядела изначально. Буква «л» в середине — это либо устойчивая диалектная вставка (так называемый эпентетический согласный, когда в народной речи между гласными появляется «л»: «радиво» — «радливо»), либо ошибка писаря при записи фамилии в метрическую книгу. Поэтому первая и главная версия: Домлжирова — это искажённый вариант фамилии Доможирова.

Основа «Доможир» — древнерусское нецерковное имя или прозвище. Оно составное: «дом» и «жир». В старорусском языке слово «жир» означало не только тучность, но и богатство, достаток, изобилие. «Доможир» — это человек, который живёт в достатке, хозяин богатого дома, либо тот, кто заботится о доме и его благосостоянии. Имя Доможир встречается в актах XV–XVI веков, и оно не было редкостью среди крестьян и посадских людей. Суффикс -ов (-а) в конце указывает на принадлежность: «чей?» — Доможиров, то есть сын или потомок Доможира.

Фамилия Доможирова (и её вариант Домлжирова) — северного или северо-восточного происхождения. Она типична для архангельских, вологодских и вятских земель, где любили составные имена-обереги и где в говорах часто вставляли лишние согласные. Встречается также фамилия Доможиров в среде донских казаков, но там она могла закрепиться уже как прозвище домоседа или зажиточного хозяина.

Написание «Домлжирова» — редкое. Оно скорее всего возникло в XIX веке при переписи населения в каком-то конкретном уезде, где местный писарь записал фамилию на слух, добавив ту самую «л». Если ваши предки носили именно такой вариант, это может быть маркером конкретной волости или даже семьи, где закрепилось это произношение. Других убедительных версий у этой фамилии нет: корень «домлж» не имеет смысла ни в одном из славянских языков, так что исходная форма — однозначно «Доможиров».