Фамилия Домоготская звучит необычно, но её происхождение раскрывается довольно прозрачно, если разобрать слово по частям. В основе лежит глагол «домогаться» — добиваться, настойчиво стремиться к чему-то. В древнерусском языке «домогати» означало «добиваться, требовать, принуждать». Прозвище Домога (или Домогот) могли дать человеку настойчивому, упорному, а иногда и назойливому — тому, кто «домогался» своего любой ценой. Суффикс -ск- в окончании указывает на типичную модель образования фамилий у дворянства или духовенства: сначала на базе прозвища возникло название села или усадьбы (Домоготы), а затем фамилия владельцев или жителей — Домоготские. Форма Домоготская — женский вариант.

Интересно, что фамилия встречается почти исключительно в одной области — в бывшем Рязанском крае, особенно в Касимовском уезде. Это редкий случай узколокального бытования. В документах XVIII–XIX веков попадаются записи о крестьянах и мещанах с такой фамилией, а значит, она не была исключительно дворянской, хотя суффикс -ский часто ассоциируется с высшими сословиями. Вероятнее всего, предки Домоготских получили фамилию по месту жительства или по прозвищу родоначальника, которое со временем закрепилось за целым родом.

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с диалектным словом «домога» — «хозяин, домовладелец». В некоторых говорах так называли рачительного, хозяйственного мужика. Но тогда фамилия писалась бы как Домогин или Домогов, а не Домоготский. Форма на -от- (Домогот) скорее указывает на отглагольное прозвище: «домогот» — тот, кто домогается. Это же слово могло стать основой для названия деревни — Домоготово или Домоготы, откуда и пошла фамилия.

Сравните с однокоренными: Домогаров (от «домогать» — добиваться), Домогацкий (тот же корень, но с другим суффиксом). Домоготская стоит особняком — редкий суффикс -от- делает её узнаваемой и сразу выдаёт региональное происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, почти наверняка их корни — в Рязанской губернии, и родословную стоит искать в архивах Касимовского уезда.