Фамилия Дразжева образована от мужской формы Дразжев, а та, в свою очередь, — от прозвища или мирского имени Дразж. Сама основа «дразж-» звучит необычно для русского уха, и это первый ключ к её происхождению.

Скорее всего, корень восходит к глаголу «дразнить». В старину дразней, или дразжой, называли человека, который любил подкалывать, передразнивать, задирать других. Такое прозвище давали не столько со зла, сколько за острый язык и привычку не упускать случая пошутить. В говорах встречается и слово «дразга» — ссора, перебранка, так что прозвище могло относиться к человеку сварливому, неуживчивому.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: суффикс -ев присоединился к основе на шипящий (Дразж-ев). Такие фамилии обычно указывали на принадлежность: «сын Дразжа» или «из семьи Дразжа». Первоначально это было отчество, которое со временем закрепилось как наследственное родовое имя.

Менее вероятная, но допустимая версия связывает фамилию с диалектным словом «дрозжи» или «дрожжи». В таком случае прозвище мог получить пекарь или пивовар — человек, работавший с закваской. Однако эта гипотеза слабее, так как переход «дрожд-» в «дразж-» фонетически нехарактерен для русского языка, а фамилия Дрозжев встречается значительно реже.

Фамилия редкая и, судя по географии, в основном встречается в центральных и южных областях России, где «дразнить» и производные слова были в ходу чаще, чем в северных говорах. Встречается и вариант написания через «а» — Дражжева, но он ещё реже.

Таким образом, предки носителей фамилии Дразжева с высокой долей вероятности получили её от человека с бойким, насмешливым характером — того, кого в деревне прозвали Дразж за привычку подшучивать и задирать односельчан.