Фамилия Дригичева — женская форма, мужской вариант — Дригичев. В её основе лежит прозвище или неканоническое имя Дрига, Дригич. Слово «дригать» в русских говорах означает «дёргать», «трясти», «бить ногами». Прозвище Дрига могли дать человеку с беспокойным, порывистым характером, тому, кто постоянно суетится или делает резкие движения. В псковских и тверских говорах «дригаться» — значит «ломаться», «упрямиться», так что прозвище могло указывать на капризного или неуступчивого человека.

Модель образования фамилии — через суффикс -ев, что типично для русских фамилий, возникших от прозвищ на -а или -я. Если бы основа оканчивалась на твёрдый согласный, появился бы суффикс -ов. Здесь же «Дрига» даёт «Дригичев»: суффикс -ич- в данном случае не отчественный (как в сербских или белорусских фамилиях), а просто соединительный элемент между основой и фамильным суффиксом. Такая модель встречается реже, чем простые -ов/-ев, что делает фамилию заметной.

Версия о связи с польским или украинским словом «дрига» (дрожь, трепет) тоже возможна, но менее вероятна для центральной России. Скорее всего, фамилия сложилась в среде крестьян или посадских людей северо-западных губерний, где диалектное «дригать» было в ходу. Ономастический словарь Б. Унбегауна относит подобные образования к группе «прозвищ по поведению», не давая точной географической привязки.

Дригичевы встречаются в основном в Тверской, Псковской и Новгородской областях, а также в Москве — результат миграции XX века. Сословно фамилия недворянская: ни в «Бархатной книге», ни в родословных росписях XVIII века она не значится. Это «бытовая» фамилия, возникшая в народной среде не позднее XVII века, когда прозвища закреплялись за потомками.

Написание с буквой «и» в корне устойчиво. Варианта «Дрыгичев» не зафиксировано, хотя в говорах возможна замена «и» на «ы» — но фамилия сохранила исходную форму.