Фамилия Дружинкина — женская форма фамилии Дружинкин, и её разбор стоит начать с суффикса. В русской ономастике суффикс -ин (и его варианты -ын) указывает на принадлежность: «чей?» — Дружинкин, то есть сын, потомок или человек из семьи Дружинки. Основа здесь — «Дружинк-», что сразу выводит нас к личному имени или прозвищу Дружинка.

Само слово «дружинка» в древнерусском языке — уменьшительно-ласкательная форма от «дружина». В XI–XIII веках дружиной называли княжеское войско, ближайшее окружение князя. Прозвище Дружинка могли дать младшему дружиннику, сыну дружинника, либо человеку, который вёл себя как член дружины — верный, надёжный, боевой. В народе прозвище могло закрепиться и за тем, кто просто обладал «дружинным» нравом: общительным, компанейским, верным товарищем.

Встречается и вторая, менее очевидная версия: Дружинка — это не прозвище, а производное от канонического имени Дружина. В древности имя Дружина было вполне реальным, нецерковным, его давали ребёнку с пожеланием, чтобы он вырос в окружении верных соратников или сам стал опорой. Словарь древнерусских личных имён (например, работы С. Веселовского) фиксирует такие имена: Дружина, Дружинка — они упоминаются в актах XV–XVI веков.

Географически фамилия Дружинкиных (и Дружинкина) тяготеет к центральным и северным областям России. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне и посадские люди с этой фамилией в Новгородской, Вологодской и Костромской землях. Это указывает на то, что предки носительницы фамилии были, скорее всего, незнатного происхождения — крестьяне, ремесленники или мелкие служилые люди. Фамилия не дворянская, не княжеская, а «бытовая», образовавшаяся в народной среде.

Интересная деталь: в отличие от массовых фамилий на -ов/-ев (Иванов, Петров), фамилии на -ин от основ, оканчивающихся на -а/-я, встречаются реже. Дружинкин — как раз такой случай: основа на -а (Дружинка) плюс -ин. Это делает фамилию более редкой по словообразовательной модели, хотя корень «дружин-» знаком каждому.

Так что фамилия Дружинкина — это не про «дружбу» в современном смысле, а про древнюю воинскую или товарищескую среду. Предки носительницы фамилии, скорее всего, были людьми, чьё прозвище или имя говорило о принадлежности к дружине — либо как её член, либо как человек, которого за верность так прозвали.