Фамилия Дыжин — это типичная русская «патронимическая» фамилия, образованная по модели «прозвище + суффикс -ин». Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «Дыжин», то есть сын или потомок человека по прозвищу Дыжа. Само прозвище Дыжа — это, скорее всего, фонетический вариант слова «дижа», которое в южнорусских и украинских говорах означало «деревянная кадка, квашня для теста». Связь очевидна: предок мог быть бондарем, то есть мастером по изготовлению таких кадок, или же просто держал в хозяйстве приметную дижу, за что и получил прозвище.

В русской ономастике такой переход «дижа → Дыжа» объясняется аканьем или диалектным произношением, где безударное «и» звучало как «ы». Поэтому не стоит путать фамилию с глаголом «дышать» — корень здесь хозяйственный, а не дыхательный. Фамилия редкая, её географическое ядро, вероятно, связано с южнорусскими областями (Курская, Воронежская губернии), где слово «дижа» было в ходу.

Интересно, что фамилия Дыжин стоит в одном ряду с однокоренными, но более распространёнными Диженин, Дижак, Дижа. Суффикс -ин в данном случае не дворянский, а крестьянский или мещанский — такие фамилии часто получали в среде ремесленников и сельских жителей. Никакой альтернативной версии (например, от тюркского корня) для Дыжина нет — слово «дижа» чисто славянское, общеупотребительное в быту. Так что, если вы носите эту фамилию, ваш предок с большой вероятностью имел дело с деревом и тестом, а не с чем-то иным.