Фамилия Дзахмишева — редкая и, скорее всего, имеет кавказское происхождение. Её основа, вероятно, восходит к адыгским (черкесским) языкам. В адыгейском и кабардино-черкесском языках элемент «дзах» (или «дзэ») может означать «зуб», «остриё», «клинок», а в переносном смысле — «воин», «боец». Вторая часть — «миш» или «мыш» — может соотноситься с адыгским словом «мышъэ» (медведь) или личным именем Мыщ (Мыш). Таким образом, фамилия могла образоваться от прозвища, состоящего из двух корней: «дзах» (воин/клинок) и «мыш» (медведь). Получается сложносоставное прозвище вроде «Воин-медведь» или «Медвежий клык» — типичное для адыгской антропонимии образное имя, которое подчёркивало силу и боевые качества предка.

Обратите внимание на суффикс «-ева». В русской традиции он указывает на принадлежность: «чей?» — Дзахмишева, то есть дочь или жена человека по прозвищу Дзахмиш. Изначально это была патронимическая форма, которая закрепилась как фамилия. Мужской вариант — Дзахмишев. Фамилия оканчивается на «-ев», а не на «-ов», что часто встречается у фамилий, образованных от основ, оканчивающихся на мягкий согласный или шипящий. В данном случае это могло произойти из-за адаптации кавказского звучания к русской грамматике.

Географически фамилия Дзахмишева привязана к адыгской диаспоре. Носители встречаются в Кабардино-Балкарии, Адыгее, а также среди потомков мухаджиров (черкесов, переселившихся в XIX веке) в Турции, Сирии и Иордании. В России фамилия крайне редкая, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от названия конкретного рода (аула) или ответвления фамилии Дзахмиш.

Сравните с однокоренными адыгскими фамилиями: Дзагов, Дзагуров (от «дзагъуэ» — враг, противник) или Дзасежев (от «дзасэ» — цепь). Фамилия Дзахмишева стоит в этом ряду особняком из-за редкой модели сложения двух корней. Споров о происхождении практически нет: адыгская основа очевидна, а русский суффикс — лишь способ вписать её в паспортную систему. Никакой связи со славянскими корнями или тюркскими языками в данном случае не прослеживается.