Фамилия Джармухаметов — редкий случай, когда основа почти не поддаётся переводу без исторической справки. Первое, что бросается в глаза, — начальное «Дж», которое для русской фамильной модели нетипично. Это верный признак тюркского или арабо-персидского происхождения, причём фамилия явно прошла через русское делопроизводство, получив типичный суффикс принадлежности -ов.

Разбираем основу. «Джармухамет» — это сложное составное имя. Первая часть «Джар» восходит к тюркскому «яр» (друг, товарищ, любимый) или к персидскому «джар» (сосуд, кувшин, но в именах чаще — «сияющий»). Вторая часть «Мухамет» — это народная форма имени Мухаммад (пророк ислама). Таким образом, Джармухамет могло означать «друг Мухаммада», «сияющий, как Мухаммад» или, по другой версии, быть стяжением из «Джан-Мухаммет» (душа Мухаммада). Учитывая, что в тюркских языках «яр» как «друг» — очень распространённый компонент личных имён (ср. Ярмухамет, Ярмухаммад), первая версия выглядит убедительнее.

Фамилию образовали от мужского личного имени Джармухамет. Такая модель — имя плюс суффикс -ов — стандартна для русских фамилий, возникших среди крещёных или контактировавших с русскими народов. Носители фамилии — это потомки человека, которого в документах записали как Джармухамет (или Ярмухамет), а его дети и внуки стали Джармухаметовыми. Географически фамилия тяготеет к регионам с башкирским и татарским населением: Башкортостан, Татарстан, Оренбургская, Челябинская области. Встречаемость низкая, что говорит о локальном распространении — возможно, от одного реального предка.

Стоит отметить, что в старых метрических книгах и ревизских сказках фамилию могли писать иначе: Ермухаметов, Ярмухаметов. Переход «Я» в «Дж» — результат диалектного произношения или особенностей записи арабской графики кириллицей. Если ваши предки из Башкирии, скорее всего, изначально имя звучало как «Ярмухамет» (с твёрдым «р»), а буква «Д» появилась при паспортизации в XX веке. Социальный слой — в основном крестьяне и тептяри (сословие между крестьянами и служилыми людьми), реже — купцы и муллы.

Сравните с однокоренными: Ярмухаметов, Джанмухаметов, Мухаметов. Все они восходят к одному корню, но приставка «Джар» выделяет именно эту ветвь. Если у вас сохранились семейные предания о том, что предок был «другом» или «сияющим» — они не противоречат лингвистике.