Фамилия Дзюзюра — редкий случай, когда исходное слово почти не оставило следов в литературном языке, но сохранилось в живой речи. Основа фамилии — прозвище Дзюзюра. Скорее всего, оно восходит к южнорусскому или украинскому диалектному глаголу «дзю́зюрити» — течь тонкой струйкой, сочиться, капать. Так могли прозвать человека не по профессии, а по какой-то бытовой черте: либо он был медлительным, «тягучим» в движениях, либо, наоборот, говорил быстро и неразборчиво, «цедил» слова. В некоторых говорах «дзюзя» — это ещё и мокрый, промокший до нитки человек, что тоже могло стать поводом для прозвища.

Модель образования проста: к основе Дзюзюр- добавлен суффикс -а, типичный для украинских и южнорусских фамилий, образованных от прозвищ (сравните: Грызодуб, Непийвода, Паливода). Фамилия осталась без дополнительных патронимических суффиксов (-ов, -енко), что указывает на её раннее закрепление в крестьянской или казачьей среде, где фамилии часто фиксировались в форме чистого прозвища. Географически Дзюзюра тяготеет к западноукраинским и белорусским регионам, но встречается и в южных областях России, куда переселялись малороссы.

В отличие от более распространённых фамилий, где основа ясна («Кузнецов» — понятно каждому), Дзюзюра заставляет задуматься. Это фамилия-загадка, и её разгадка лежит не в книгах, а в диалектной лексике, которую собирали этнографы XIX—XX веков. Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка происходил из среды, где говорили на говорах, близких к украинским, и, возможно, сам был носителем того самого прозвища — неспешного, «капающего» человека.