Фамилия Эльбекян — типичный пример армянской фамилии, образованной с помощью одного из самых распространённых патронимических суффиксов -ян. Этот суффикс, означающий «принадлежащий к роду» или «потомок», в русской передаче часто выглядит как -ян (реже -янц, -янцъ). По сути, Эльбекян — это «из рода Эльбека», где Эльбек — личное имя или прозвище родоначальника.

Имя Эльбек — составное, тюрко-персидского происхождения. Первая часть, «эль» (или «ил»), в тюркских языках означает «народ», «страна», «племя». Вторая часть, «бек», — тюркский титул, соответствующий князю, господину или военному предводителю. Таким образом, Эльбек буквально переводится как «народный бек» или «владыка народа». Это имя было широко распространено среди тюркских народов, а в Армении, веками находившейся под влиянием тюркских государств (Османской империи, Сефевидской Персии и др.), оно вошло в обиход и могло использоваться как личное имя, а иногда и как прозвище для уважаемого, влиятельного человека.

Поскольку суффикс -ян указывает на происхождение, фамилия Эльбекян говорит о том, что основатель рода носил имя Эльбек. Сословная принадлежность могла быть разной: в среде армянских меликов (князей) и купцов такие имена встречались, но никаких строгих данных о том, что все носители фамилии принадлежали к знати, нет. Скорее, это фамилия, распространённая среди армян, живших в Восточной Армении (в частности, в Карабахе и Зангезуре), где тюркские имена были особенно часты. В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Эльбекян), и не склоняется у женщин (Анна Эльбекян), что типично для фамилий на -ян.