Фамилия Элистаев почти наверняка происходит от названия города Элиста — столицы Калмыкии. Такие «топонимические» фамилии давали человеку, который был родом из этого города или имел к нему прямое отношение: переехал, служил, торговал. Словообразовательная модель простая: к основе «Элиста» добавили патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Элистаев). Получаем «сын человека из Элисты».

Важно понимать, что сама Элиста — город относительно молодой. Статус города она получила только в 1930 году, а до этого была селом. Поэтому фамилия Элистаев, скорее всего, не древняя, а возникла в XX веке, когда люди массово получали фамилии при паспортизации или брали их по месту жительства. Более ранних, дореволюционных корней у неё, вероятно, нет — в отличие от фамилий на -ов, идущих от крестильных имён.

Менее вероятная, но теоретически возможная версия — связь с калмыцким именем или прозвищем. В калмыцком языке слово «элиста» может восходить к понятию «песчаный» или относиться к местности с песчаной почвой. В этом случае фамилия могла быть дана не по городу, а по прозвищу человека, жившего на песках. Однако эта гипотеза слабее: город Элиста настолько узнаваем, что топонимическое объяснение лежит на поверхности и подтверждается типичной для русских фамилий моделью.

По суффиксу -ев фамилия тяготеет к русской ономастической традиции, хотя основа калмыцкая. Это типичный случай, когда человек из национального региона, переходя в русскоязычную среду, получал фамилию, оформленную по русскому образцу. Носители фамилии Элистаев — это, скорее всего, потомки калмыков или выходцев из Калмыкии, которые в XX веке закрепили за собой фамилию по месту рождения или жительства.

Встречаемость фамилии невысокая, она редкая и локальная, что тоже говорит в пользу её позднего происхождения и привязки к конкретному региону.