Фамилия Елякова — женская форма фамилии Еляков, и её разбор стоит начать с мужского варианта, который образован по самой распространённой в русском языке модели: от основы (прозвища или имени) плюс патронимический суффикс -ов. Вопрос в том, что легло в основу.

Самый прямой и вероятный путь — от имени Еля. Это могла быть обиходная, разговорная форма крестильного имени Илья (древнееврейское «Яхве — мой Бог»). В русских говорах имя Илья нередко сокращали и переиначивали: Илюха, Илюша, Еля. По той же модели возникли фамилии Елин, Елькин, Ельцов. Если предка звали Еля (в значении Илья), то его сын становился Еляковым — то есть «Елин сын», «потомок Ели».

Есть и вторая, менее очевидная гипотеза: основа могла быть не от имени, а от прозвища Еля. В некоторых диалектах «еля» — это ёрш, колючая рыба. Такое прозвище могли дать человеку с неуживчивым, «колючим» характером или, наоборот, за внешнее сходство с этой рыбой (например, за торчащие волосы или худобу). Прозвища от названий рыб в русской ономастике не редкость: Ершов, Окунев, Карасёв. Версия с прозвищем правдоподобна, но уступает первой по частотности: фамилий от имени Илья в России значительно больше.

Суффикс -ов указывает на то, что фамилия сформировалась в центральной и северной частях России (в отличие от украинских и белорусских фамилий на -ук, -енко). Регионально Еляковы чаще встречаются в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает связь с именем Илья: в этих краях имя было чрезвычайно популярно, а его народные формы — разнообразны. Социально фамилия, скорее всего, крестьянская или мещанская: дворянские роды редко образовывались от обиходных форм имени.

Таким образом, Елякова — это «дочь (или жена) Елякова», а её предок с большой вероятностью носил имя Илья в его простонародном варианте Еля.