Фамилия Элязова, скорее всего, женская форма от фамилии Элязов. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образуются от отчества или прозвища отца, а окончание -а указывает на принадлежность женщине. Поэтому корень фамилии — «Эляз».

Самая вероятная версия происхождения — от тюркского имени или прозвища. Основа «Эляз» может восходить к тюркскому слову «эляз» или «иляз», что в некоторых диалектах означает «благородный», «достойный» или «господин». В ономастике известны фамилии, образованные от личных имен с таким корнем, особенно среди народов Поволжья и Кавказа. Например, у татар, башкир или азербайджанцев встречаются имена Иляз, Эляз — как вариант имени Ильяс (библейский Илия в исламской традиции). Тогда фамилия Элязов буквально означает «потомок Эляза» или «сын Эляза».

Менее распространённая, но возможная версия — связь с еврейской фамилией Эльязов (от имени Элиезер). В таком случае написание через «я» могло закрепиться из-за акающего произношения или ошибки писаря. Однако для фамилии Элязова такая версия менее типична, так как в еврейских фамилиях чаще встречается корень «Эль» (Бог) с другим суффиксом.

Географически фамилия Элязова встречается в основном на юге России и в Закавказье. Встречается она нечасто, что указывает на её локальное происхождение — возможно, от конкретного рода или села. Суффикс -ов указывает на то, что фамилия формировалась в русскоязычной среде, но основа осталась иноязычной.

Если говорить о социальном контексте, носители фамилии могли быть крестьянами или мещанами, получившими фамилию по отцу в XIX веке при массовой паспортизации. Сословной принадлежности по фамилии точно установить нельзя, так как модель на -ов универсальна для всех слоёв.