Фамилия Еримеева — это прежде всего женская форма, а её мужской вариант — Еримеев. В основе лежит имя Еримей, которое является просторечной, народной формой канонического крестильного имени Ермей. Ермей, в свою очередь, происходит от древнегреческого Гермес — имени вестника богов. В русском языке имя попало через церковнославянскую традицию, но в быту звук «х» часто выпадал, и «Ермей» превращался в «Еримей». Такая замена обычна для диалектного произношения: сравни «Ермил» и «Еримил».

Словообразовательная модель проста и типична: к основе Еримей добавили суффикс принадлежности -ев, означающий «сын Еримея» или «из рода Еримея». В крестьянской среде, где фамилии массово закреплялись после отмены крепостного права в 1861 году, такие отчества-фамилии были самым распространённым способом назвать семью. То есть предок носителя фамилии, скорее всего, носил имя Еримей — нередкое в XVI–XVII веках, но потом почти исчезнувшее.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным губерниям России. В переписных книгах и ревизских сказках Еримеевы встречаются в Архангельской, Вологодской и Костромской губерниях. Интересно, что в некоторых говорах имя могли произносить как «Яримей» — отсюда возможны варианты написания Яримеев, но они единичны.

Споров о происхождении фамилии почти нет. Версия с именем Ермей — основная и бесспорная. Альтернативное объяснение, что корень связан с тюркским «ерим» (моё достояние), — слабое, так как суффикс -ев указывает на славянскую патронимическую модель, а не на заимствование. Так что Еримеев — чисто русская фамилия, образованная от редкой формы крестильного имени, и её носители — потомки человека, которого в документах звали Еримеем.