Фамилия Есягин — одна из тех, где за привычным русским окончанием скрывается нерусская основа. Разберём её по косточкам.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Есягин — значит «сын Есяги» или «человек из рода Есяги». Сама же основа Есяг- — это, скорее всего, искажённое тюркское имя или прозвище. В тюркских языках (татарском, башкирском, чувашском) есть корень «есе» или «эсе», означающий «хозяин», «владелец», «господин». Отсюда могли образоваться имена вроде Есяк, Есяка, а с русским суффиксом -а (для адаптации) — Есяга. Так что первый носитель фамилии, вероятно, был человеком, получившим прозвище Есяга — возможно, за хозяйственность или властный нрав.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с гидронимом или топонимом. В Поволжье встречаются речки с названием Еся (например, притоки Камы или Вятки). Житель у такой реки мог получить прозвище Есяга, а его потомки — фамилию. Но эта гипотеза слабее, потому что суффикс -яга в русских прозвищах от рек встречается редко (обычно -ец или -янин).

В документах фамилия Есягин встречается в основном в Нижегородской области и в Чувашии — регионах, где веками шло смешение русского и тюркского населения. Это подтверждает версию о тюркском происхождении. Сословно носители, скорее всего, были государственными крестьянами или однодворцами — свободными, но не дворянами, поскольку фамилия не попала в родословные книги.

Кстати, ударение в фамилии плавает: в говорах Нижегородчины чаще говорят Еся́гин, а в Чувашии — Есяги́н. Оба варианта допустимы, но первый исторически точнее, если исходить из тюркского ударения на первый слог (Еся́).