Фамилия Есягина — женская форма, а её мужской вариант — Есягин. С точки зрения словообразования это классическая патронимическая модель: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть «дочь (или жена) Есяги». Основа же — Есяг(а) — прозвище или, что вероятнее, обиходная форма личного имени.

Корень здесь — Ес-. В русской ономастике он восходит к крестильному имени Есей (церковная форма Иессей). Это имя носил отец царя Давида в Библии, и в народной среде оно давалось детям, особенно в северных и центральных губерниях. От Есея образовались уменьшительные формы: Еся, Есюта, Есяга. Суффикс -яг(а) характерен для северных и поволжских говоров и придаёт слову оттенок просторечия или ласкательности (сравните: Ваняга, Коляга). Таким образом, Есяга — это «маленький Есей» или просто «Еся».

Вторая версия, менее распространённая, выводит фамилию из нецерковного прозвища Есяга, которое могло быть связано с диалектным глаголом «есить» — в некоторых говорах это означало «есть, кушать» или, наоборот, «капризничать, привередничать в еде». Прозвище могли дать либо любителю поесть, либо привередливому человеку. Однако библейское происхождение через имя Есей выглядит более надёжным — такие фамилии встречаются чаще, чем прозвищные от бытовых глаголов.

Географически фамилия Есягин (и Есягина) редкая. Основные очаги — Вологодская, Архангельская области и север Кировской области. Это совпадает с ареалом бытования имени Есей и суффикса -яг(а). Встречается также в Поволжье, куда фамилия могла мигрировать с северными переселенцами.

Социально предки Есягиных, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми. Фамилия не дворянская и не купеческая — об этом говорит простота основы и отсутствие книжных суффиксов вроде -ский. В документах XVII–XVIII веков Есягины фиксируются как черносошные крестьяне на Севере. Если вы носите эту фамилию, ваши корни, вероятнее всего, уходят в деревни Вологодчины или Архангельского края, где имя Есей было в ходу до начала XX века.