Фамилия Елягин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей — от личного имени или прозвища с помощью патронимического суффикса -ин. Основа здесь — «Еляга». Это, скорее всего, уменьшительно-пренебрежительная или обиходная форма какого-либо крестильного имени. В качестве источника исследователи обычно указывают имя Елисей (от древнееврейского «Бог — спасение»), но возможны и варианты: Елизар, Елеазар или даже Елиазар. В бытовой речи XVI–XVII веков такие сокращения были типичны: полное имя укорачивали до первого слога и добавляли просторечный суффикс -яга, -ага (ср. Миняга от Мина, Степага от Степан). Таким образом, Еляга — это «Елисей» или «Елизар» в народном, домашнем звучании.

Суффикс -яга придавал имени сниженный, фамильярный оттенок, но в фамилиях он закрепился без пренебрежительного смысла — как указание на родство. Фамилия Елягин буквально значит «сын Еляги» или «потомок Еляги». По происхождению это типичная фамилия непривилегированных сословий: крестьян, посадских людей, мелких служилых. В дворянскую среду она попадала редко — для этого требовалось, чтобы род смог подтвердить своё благородное происхождение, что при такой прозрачной «простонародной» основе было маловероятно.

Географически фамилия не привязана к одной местности, но чаще встречается в центральных и северных губерниях России — там, где были распространены формы на -яга. В документах XVII–XVIII веков можно найти упоминания крестьян Елягиных в Вологодском, Костромском и Архангельском уездах. Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде «Елягинъ» — оно сложилось ещё до реформы орфографии и не менялось.

Редкость фамилии объясняется тем, что исходная форма «Еляга» не вошла в широкий обиходный репертуар, в отличие, скажем, от «Елисеев» или «Елизаров». Поэтому Елягины — это, скорее всего, потомки одного или нескольких локальных родов, а не массовая фамилия. Если искать однокоренные фамилии, то ближе всего стоят Еляков (от Еляк — другая уменьшительная форма) и, возможно, Еляшев, но последняя уже совсем редкая.