Фамилия Евкименко — один из ярких примеров украинской модели фамилий на -енко, которая означает «сын» или «потомок». В буквальном смысле Евкименко — это «сын Евкима». Имя Евким — это народная, разговорная форма канонического крестильного имени Иоаким (от древнееврейского «Йехоаким» — «Яхве воздвигнет» или «поставленный Богом»). На русской почве имя Иоаким упростилось до Аким, а в украинской традиции, где начальное «и» часто переходило в «е», появился вариант Евким. Таким образом, основа фамилии — не редкое местное прозвище, а вполне узнаваемое православное имя, адаптированное под местную фонетику.

Суффикс -енко в украинской антропонимии XVII–XVIII веков был настолько продуктивным, что вытеснил многие другие модели. Он указывал не только на родство, но и на принадлежность к определённому роду или семье. Фамилия Евкименко, скорее всего, оформилась в среде запорожского казачества или крестьянства Левобережной Украины, где такие формы были особенно популярны. В отличие от великорусских фамилий на -ов/-ев, которые часто закрепляли за человеком прозвище отца, украинские фамилии на -енко подчёркивали прямую линию наследования — «чей ты будешь?».

Географически фамилия тяготеет к центральным и восточным областям Украины: Черкасской, Полтавской, Сумской, а также к югу России, куда переселялись украинские крестьяне в XIX веке. Встречаются варианты написания с одной «к» (Евименко) — это следствие диалектного произношения, где «к» перед «и» смягчалось, и на письме её могли опускать. Такие перебои в написании типичны для метрических книг, где фамилию записывали на слух.

Интересно, что фамилия Евкименко, несмотря на прозрачную этимологию, редко встречается в официальных списках дворянских родов. Это фамилия преимущественно крестьянская и мещанская. Её носители, скорее всего, были людьми незнатного происхождения — казаками, хлеборобами или ремесленниками. Никаких громких исторических личностей с такой фамилией не зафиксировано, что только подтверждает её «народный» характер: она не попала в высшие сословия, но сохранилась в своей среде, передаваясь по мужской линии уже не одно столетие.