Фамилия Евкимов — типичный пример того, как церковное имя, попав в народную речь, дало начало целому ряду родственных фамилий. Основа здесь — каноническое имя Иоаким. В русском языке оно прошло несколько этапов упрощения: от Иоаким до Аким и далее до простонародной формы Евким. В ней «Ев-» — это результат редукции начального слога, а «-ким» — усеченный корень. Так что ваш предок по мужской линии, скорее всего, носил имя Евким — вариант имени Иоаким, которое в переводе с древнееврейского означает «Яхве (Бог) восставит» или «Богом поставленный».

Суффикс «-ов» указывает на стандартную русскую модель образования отчества в XVI–XVII веках. Евкимов буквально значит «сын Евкима». Фамилия закрепилась в среде крестьян и посадских людей, когда в середине XVIII века государство начало массово «фамилизировать» население. В отличие от дворянских родов, которые могли вести происхождение от прозвищ или географических названий, Евкимовы почти наверняка пошли от личного имени.

Интересная деталь: фамилия встречается преимущественно в южнорусских и украинских говорах, где аканье и редукция гласных были особенно сильны. В северных областях, где окали, та же самая фамилия звучала бы как Акимов или Якимов. В документах XVIII–XIX веков можно встретить написание Евкимов и Явкимов — это отражение местного произношения, когда «е» переходило в «я». Словарь русских фамилий Б. Унбегана относит Евкимова к группе фамилий, образованных от народных форм имени Иоаким, и отмечает, что такие варианты были особенно распространены среди однодворцев — особого сословия, занимавшего промежуточное положение между крестьянами и дворянами.

Родственных фамилий немало: Акимов, Екимов, Якимов, Иоакимов. Евкимов стоит в этом ряду как наименее очевидный для современного уха вариант, но именно он лучше других сохраняет след живой народной этимологии, когда имя перекраивалось под привычный звуковой строй. Если ваши предки — Евкимовы, то с высокой долей вероятности они были либо крестьянами Центральной России, либо однодворцами южных губерний, где имя Евким бытовало особенно часто.