Фамилия Екименко — типичный пример украинской модели образования фамилий. Её основа — уменьшительная форма крестильного имени Иоаким, которая в бытовой речи звучала как Еким. В русском языке этот процесс называют «еканьем»: начальное «и» заменялось на «е», так что Иоаким превращался в Еким, а затем и в Екима. Суффикс -енко в украинской ономастике означает принадлежность или родство, буквально «сын Екима». Такую же модель мы видим в фамилиях Гриценко (от Грица, Григорий) или Тимошенко (от Тимош, Тимофей).

Исходное имя Иоаким пришло из древнееврейского языка и означает «прославленный богом». В православной традиции это имя носил отец Богородицы, святой Иоаким, что обеспечило ему популярность в народе. Однако в повседневном общении полная форма использовалась редко — слишком длинная и торжественная. В ход пошли сокращения: Аким, Яким, Юхим и, с «екающим» произношением, Еким. Именно от этого варианта и пошла фамилия Екименко.

Если смотреть на географию, фамилия плотнее всего бытует на левобережной Украине — в Сумской, Полтавской, Черниговской областях, а также в приграничных районах России (Белгородчина, Курщина). Это логично: суффикс -енко исторически преобладал именно в этих землях, вытеснив русские суффиксы -ов и -ин. Встречаются и однокоренные варианты: Екимов, Екименков, Екимович, но Екименко — самая характерная для украинской традиции форма.

Интересная деталь: фамилия могла закрепиться и за потомками человека, которого в документах записали просто Екимом — без отчества. В реестрах казацкой старшины XVII–XVIII веков нередко встречаются такие одноименные обозначения, а фамилия на -енко как раз и выполняла роль указания на родство. Так что предки носителей фамилии Екименко с высокой вероятностью были либо казаками, либо крестьянами, получившими фамилию по имени отца при переписях.