Фамилия Екимецкая — редкий пример женской формы, сохранившей исходное окончание. В основе, как несложно догадаться, лежит имя Еким — просторечный вариант канонического Иоаким (в русской традиции часто Аким). Переход «а» в «е» в безударном положении — обычное дело для южнорусских и украинских говоров: Еким, Екименко, Екимов.

Здесь же мы видим суффикс -ецк-, который указывает на происхождение от географического названия. Скорее всего, предок носительницы фамилии был выходцем из села или хутора с названием Екимец, Екимцы или Екимовцы. Такие топонимы встречаются на западе России и в Беларуси — там, где фамилии на -ский/-цкий были особенно распространены среди крестьян и мещан. В отличие от дворянских «княжеских» фамилий на -ский (вроде Трубецкой), Екимецкая могла образоваться уже в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по названию деревни.

Обратите внимание на окончание: Екимецкая, а не Екимецкий. Это не опечатка — фамилия закрепилась именно в женской форме, что бывает, если в семье не было наследников-мужчин, или если фамилия передалась по женской линии. Встречается она преимущественно на юге России и в Восточной Украине.

Исходное имя Иоаким (Аким) — древнееврейского происхождения, означает «восставленный Богом». Но для носителей фамилии важнее другое: их предки, скорее всего, были не помещиками, а людьми из конкретного поселения, названного в честь местной церкви или первого поселенца по имени Еким. Это типичная «географическая» фамилия, которая говорит о корнях, а не о сословии.