Екимовская — фамилия, которая сразу выдает своё географическое происхождение: суффикс -ск- указывает на то, что её основа — название места. Такие фамилии обычно получали дворяне по названию своих поместий или, реже, выходцы из сёл и городов, переселявшиеся в другие края. В основе фамилии лежит топоним Екимово или Екимовская — таких деревень и урочищ в России немало, особенно в центральных и северных областях.

Само название Екимово — это притяжательное прилагательное от имени Еким. Еким — народная, обиходная форма церковного имени Иоаким. В старину имя Иоаким, означающее по-древнееврейски «восставленный Богом», часто упрощали до Аким, Яким, а в некоторых говорах — до Еким. Так что родовая фамилия Екимовских восходит к человеку по имени Еким, который, вероятно, был владельцем или основателем того самого селения. Получается двойная цепочка: сначала имя Еким дало название деревне Екимово, а затем жители этой деревни, переезжая, стали писаться Екимовскими — то есть «выходцы из Екимова».

С точки зрения сословной принадлежности, фамилии на -ский в XVIII–XIX веках не были исключительно дворянскими. Их активно носили и крестьяне, и мещане, и духовенство. В случае с Екимовской вполне вероятно, что предки носителя фамилии были крестьянами или однодворцами, переселившимися из деревни с таким названием. Встречаются записи о крестьянах Екимовских в документах Вологодской и Архангельской губерний, где топоним Екимово распространён особенно широко.

Интересная деталь: фамилия могла писаться и через «о» — Окимовская. В северных говорах, где было характерно аканье, имя Еким произносили как Оким, и это отражалось в документах. Поэтому варианты написания одной и той же фамилии — не ошибка, а следствие живой речи и местных диалектных особенностей. Если ваш предок записан в метрической книге как Окимовский, это та же самая фамилия.