Фамилия Эврюков — редкая и нестандартная для русского ономастикона. Её основа Эврюк не имеет общеславянских корней, что сразу указывает на заимствование или искусственное происхождение.

Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «эврюк» (или «еврюк») — в некоторых тюркских языках это «поворот», «изгиб», а также «бродяга», «скиталец». В тюркской среде прозвище Эврюк могли дать человеку непоседливому, часто меняющему место жительства, либо тому, кто жил у излучины реки. Русский суффикс -ов стандартно оформил фамилию по модели «чей?» — то есть «сын Эврюка». Фамилия образована не от крестильного имени, а от прозвища, что типично для поздних (XVII–XIX века) фамилий окраинных регионов.

Географически фамилия могла возникнуть на южных или восточных рубежах России — в казачьих областях, в Поволжье, на Северном Кавказе, где контакты с тюркским населением были плотными. Там же встречаются родственные по модели фамилии: Еврюков, Яврюков, Эвроков. Вариант с начальным «Э» — скорее всего, результат фиксации фамилии в документах приказчиками, которые записывали тюркский звук на слух.

Версия о происхождении от греческого или кавказского личного имени менее вероятна, хотя полностью исключать её нельзя: в некоторых диалектах осетинского и адыгских языков есть близкие по звучанию корни, означающие «сильный» или «гордый». Но без конкретных записей в метриках или ревизских сказках эта гипотеза остаётся предположением.

Фамилия Эврюков никогда не была распространённой. Носители её — потомки, скорее всего, однодворцев или казаков, принявших фамилию по прозвищу предка. Сословно это не дворянский род, а крестьянская или мещанская фамилия, что подтверждается отсутствием в гербовниках.