Фамилия Эврюкова — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, искажённое географическое название или заимствованное слово. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать её на части: корень «Эвр-» и суффикс «-юков», указывающий на принадлежность к роду (чьи? — Эврюковы).

Самый вероятный путь — связь с гидронимом (названием реки) или топонимом «Евфрат». По-гречески река называлась Εὐφράτης (Эуфратес). В русской устной традиции греческое «эу» часто переходило в «ев» (как в имени Евгений), но могло сокращаться и упрощаться до «Эвр-». Если предка прозвали по месту жительства или службы (например, «человек с Евфрата»), то в бытовой речи прозвище «Эвря» или «Эврук» дало фамилию Эврюков. Версия спорная, но для фамилии, не привязанной к типичным славянским корням, она правдоподобнее, чем попытки вывести её из русского «вера» или «верю» — там не хватает фонетических звеньев.

Менее экзотичная гипотеза: фамилия могла возникнуть от прозвища Эвря, которое, в свою очередь, — форма крестильного имени Еврей (от древнееврейского «иври» — «пришедший с той стороны»). В старину так могли называть не только по национальности, но и в переносном смысле — пронырливого, хитрого или странствующего человека. Но тогда ожидалась бы форма Евреев или Еврюков, а «Эвр-» с твёрдым начальным звуком указывает на южнорусские или украинские говоры, где «е» переходило в «э» (это дало, например, фамилию Эрмолов от Ермолай).

Женская форма Эврюкова — типичное окончание для фамилий жён и дочерей в русской традиции (в отличие от болгарской или сербской, где оно осталось бы Эврюкова у мужчины). Мужской вариант — Эврюков. По суффиксу фамилия вписывается в ряд отчественных образований на «-юк» (вроде Ковалюк, Павлюк), но с редкой основой. Носителей фамилии очень мало, и большинство из них, по данным открытых источников, живут в центральных и южных областях России, что не противоречит версии о происхождении из зоны контакта с греческой или тюркской речью.